用三维几何理解坐标系
这个版本围绕你指定的课程第 2 节“三种常用的正交曲线坐标系”建立空间直觉。三种坐标系描述同一个点 P；先观察长度和角度，再打开坐标面、局部方向与微元。课程入口 ↗
怎样操作图形
- 拖动画布可以旋转三维图，滚轮缩放，右键平移；触屏使用单指旋转、双指缩放。
- 拖动黑色点 P，会在当前 z 高度的水平面上移动它；用右侧数值或滑条调整高度和角度。
- 切换直角、圆柱、球坐标时，P 的空间位置保持不变。下方对照表同时显示三种描述。
- 点击“定位点”“坐标面”“单位矢量”“微元”，一次只观察一层关系。坐标面可以分别关闭，交线也可隐藏。
- 微元模式会自动拉近；用“近看微元”再次聚焦，“复位视角”回到总体视角。
画布获得键盘焦点后，方向键旋转，+ / − 缩放，0 复位。可以保存 PNG，或复制包含坐标、观察步骤和变化量的当前链接。
统一的方向约定
Z 轴向上，X、Y、Z 构成右手坐标系。φ 在 XY 平面内从 +X 方向朝 +Y 方向量起。球坐标 θ 从 +Z 轴量起：0° 在北极，90° 在 XY 平面，180° 在南极。
参数面板用“度”便于调节，计算弧长与体积时自动转为弧度。若教材使用其他符号，应按角度的起算方向对应概念。
| 坐标系 | 怎样描述 P | 固定一个参数的坐标面 |
|---|---|---|
| 直角 (x, y, z) | 三个有向长度 | x、y、z 不变分别给出三个平面 |
| 圆柱 (ρ, φ, z) | 到 Z 轴的距离、方位角、高度 | 圆柱面、经过 Z 轴的半平面、水平面 |
| 球 (r, θ, φ) | 到 O 的距离、极角、方位角 | 球面、圆锥面、经过 Z 轴的半平面 |
局部单位矢量
方向箭头从 P 出发，每组的三根箭头相互垂直并以相同长度显示。直角坐标的方向固定；圆柱的径向和周向随 φ 变化；球坐标的三个局部方向随 θ、φ 变化。
位置矢量 OP 从原点 O 指向 P。球坐标的径向单位矢量 eᵣ 与 OP 同方向，但 OP 的长度是 r；可写为 OP = r eᵣ。
微元的三条边
| 坐标系 | 局部边长 | 微元体积 |
|---|---|---|
| 直角 | dx，dy，dz | dx dy dz |
| 圆柱 | dρ，ρ dφ，dz | ρ dρ dφ dz |
| 球 | dr，r dθ，r sinθ dφ | r² sinθ dr dθ dφ |
角度变化先乘以相应的半径，才变成长度。球坐标沿 φ 转动时走的是纬线，纬线半径为 r sinθ，因此 φ 方向的边长含有 sinθ。
为看清形状，屏幕上展示的是有限大小的放大块，具有真实的圆柱或球面边界。读数同时给出局部微元近似与有限块精确体积；减小变化量，可以观察两者趋近。
圆柱有限块：V = [((ρ+Δρ)²−ρ²)/2] Δφ Δz。球坐标有限块：V = [((r+Δr)³−r³)/3] [cosθ−cos(θ+Δθ)] Δφ，角度为弧度。
轴线与原点
P 在 Z 轴上时，φ 没有唯一取值；P 在原点时，方向角也没有唯一取值。界面会显示提示，并选取 0° 作为绘图参考。球坐标接近南极时，增加 θ 的变化量会截断在 180°，请选择一般位置观察正常微元。
免费与开源
本站公开免登录，计算在浏览器本地进行，使用 MIT 许可证。下载完整源码后可运行本地启动器；也可部署自己的静态网站。三维库已保存在网站文件中，本地运行无需外部 CDN。
Three.js 与 OrbitControls 保留独立的 MIT 声明，见 第三方组件说明。原有电场、磁场、波导等模型保留在 电磁场模型入口。